La ley de Gauss y sus aplicaciones a través de realidad aumentada

\begin{equation} \tag{1} \vec{E}=\frac{\vec{F}}{q_{0}}. \end{equation}

\begin{equation} \tag{2} \Phi_{E}=\int \vec{E}\cdot d\vec{A}. \end{equation}

El flujo eléctrico neto se define como el flujo que sale menos el flujo que entra en una superficie cerrada. Su expresión matemática es:

\begin{equation} \tag{3} \Phi_{E}=\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}, \end{equation}

donde el símbolo \( \oint \) indica una integral de superficie cerrada.
Consideremos el caso de unas superficies cerradas dentro de un campo uniforme, como vemos en la Figura V. En V (\( a \)) y (\( b \)), tenemos un cilindro para el cual podemos expresar el flujo neto como la suma de los flujos a través de su tapa izquierda \( (I) \), su pared cilíndrica \((II)\) y su tapa derecha \( (III) \):

\begin{equation} \tag{4} \Phi _{E}=\int_{I} \vec{E}\cdot d\vec{A}\:+\:\int_{II} \vec{E}\cdot d\vec{A}\:+\:\int_{III} \vec{E}\cdot d\vec{A}\:. \end{equation}

Observamos que todas las líneas de fuerza que entran por un lado de la superficie cerrada salen por otro, lo cual significa que el flujo a través del cilindro es igual a cero. Lo mismo ocurriría si en lugar del cilindro estuviera cualquier otra superficie cerrada (Figura V \( (c) \) y \( (d) \)).
Entonces, ¿el flujo neto siempre será igual a cero? La respuesta es no. Si pensamos de nuevo en una carga puntual y la encerramos con una superficie en forma de cubo (Figura VI \( (a) \)), veremos que todas las líneas de fuerza salen de ella, generando un flujo neto positivo, diferente de cero. Si la carga fuera negativa, todas las líneas de fuerza entrarían en el cubo y generarían un flujo de signo negativo. Entonces, siempre que una superficie encierra una carga neta el flujo es distinto de cero. Dicha carga neta es la suma de todas las cargas positivas y negativas encerradas y en ocasiones el resultado de esta suma puede ser igual a cero, como ocurre en el caso del dipolo que podemos ver en la Figura VI \( (b) \) o la visualización correspondiente. Cuando esto sucede el flujo neto es cero.

\begin{equation} \tag{5} \oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{1}{\epsilon _{0}}q, \end{equation}

donde el lado izquierdo de la ecuación representa el flujo neto del campo eléctrico, \( q \) la carga neta encerrada por la superficie gaussiana y \( \epsilon _{0} \) es la constante de permitividad eléctrica del vacío \( (\epsilon _{0}\approx 8.85\times 10^{-12}\: C^{2}/Nm^{2}) \).

Puesto que en este caso el campo es uniforme sobre toda la superficie, éste puede salir de la integral. A continuación, al integrar el diferencial de área obtenemos el área correspondiente a la superficie de la esfera:

\begin{equation} \tag{6} \oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\oint \left | \vec{E} \right |\left | d\vec{A} \right |cos(0^{\circ})=E\oint d\vec{A}=EA=E(4\pi r^{2}). \end{equation}

Ahora, para llegar a la expresión que buscamos, igualamos este resultado con el lado derecho de la ley de Gauss:

\begin{equation} \tag{7} E(4\pi r^{2})=\frac{1}{\epsilon _{0}}q. \end{equation}

Finalmente, despejamos el término que nos interesa, quedando la ecuación de la siguiente forma:

\begin{equation} \tag{8} E=\frac{1}{4\pi\epsilon _{0} r^{2}}q. \end{equation}

Con este ejemplo, acabamos de mostrar que la ley de Gauss es más fundamental que la ley de Coulomb, puesto que, si empleamos el resultado anterior y también la definición del campo eléctrico (Ec. 1), podemos llegar a la ley de Coulomb para la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales:

\begin{equation} \tag{9} F_{E}=\frac{1}{(4\pi \epsilon _{0})}\frac{qq_{0}}{r^{2}}. \end{equation}

Ahora, consideremos el caso de un segmento de una línea muy larga con densidad lineal de carga \( \lambda \) positiva y uniforme:

\begin{equation} \tag{10} \lambda=\frac{Q}{L}, \end{equation}

donde \( Q \) es la carga total en la línea y \( L \) es la longitud de la línea.
Las líneas de fuerza alrededor de la distribución de carga forman un patrón simétrico con respecto a un eje que coincide con la línea de carga, siempre y cuando consideremos un segmento lejos de los extremos. En la Figura VIII, mostramos este patrón proyectado sobre el plano \( xy \), y en la visualización correspondiente lo podemos observar en tres dimensiones. Esta simetría nos sugiere usar una superficie gaussiana cilíndrica cuyo eje sea colineal con la línea de carga. Así, sobre la pared cilíndrica \( II \), los vectores de campo \( \vec{E} \) y diferenciales de área \( d\vec{A} \) tienen la misma dirección y el campo es uniforme, puesto que la distancia \( r \) desde la línea hasta cualquier punto de la pared cilíndrica es la misma. Por otro lado, a través de las tapas, donde dichos vectores son ortogonales entre sí, el producto escalar es igual a cero, y por lo tanto el flujo también lo es.

Tomando en cuenta la simetría que acabamos de analizar y retomando la Ec. 4, al resolver las integrales obtenemos:

\begin{equation} \tag{11} 0+\int\left | \vec{E} \right | \left | d\vec{A}_{II} \right | cos (0^{\circ})+0=E\int dA_{II}=EA_{II}=E(2\pi rh), \end{equation}

donde \( r \) es la distancia entre la línea de carga y la pared cilíndrica y \( h \) es la longitud del cilindro. A diferencia de la situación que presentamos en la Figura V \( (a) \) y \( (b) \), aquí observamos un resultado distinto de cero para el flujo, puesto que ahora la superficie gaussiana sí encierra una carga neta. A continuación, igualamos el resultado anterior con el lado derecho de la ley de Gauss, tomando en cuenta que la carga neta encerrada también depende de la longitud de la superficie gaussiana que escogimos \( q=h\lambda \):

\begin{equation} \tag{12} E(2\pi rh)=\frac{1}{\epsilon _{0}}(h\lambda ). \end{equation}

Finalmente, despejamos el término que nos interesa para encontrar el campo eléctrico a una distancia \( r \) de la línea de carga:

\begin{equation} \tag{13} E=\frac{h\lambda}{\epsilon _{0}(2\pi rh)}=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon _{0}r}. \end{equation}

En la sección Visualizaciones podremos observar en RA lo que vimos en las figuras anteriores.

Fuentes:
Halliday, D., Resnick, R. y Krane, K. (1999). Física Volumen 2. México: Compañía Editorial Continental.
Purcell, E. & Morin, D. (2013). Electricity and magnetism. Estados Unidos de América: Cambridge University Press.

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